2012年 開成 中学受験 算数 解き方

2012年 開成中学校の算数の問題3番の解き方例です。
※ 模範解答ではありません。
※ facebookで質問されたので、解答を作ってみました♪

(1)

問題文より BC=7cmであり、また、CF=3cmであるから。
BF=BC-CF=7-3=4cm


ここで、補助線を引きます。
今回、三角形を折り返して作った図形なので、DEを延長し、ABと交わる点をGとします。


折った図形ですので、△DEFと△BDGは合同となり、面積も等しい。
※ 時間の決まっている、受験ですので、まずは、このような解答を行い、全ての問題を解いた後に、合同証明を行えば良いと思います。
ここで、△DEFの面積を1とします。


さて、問題文より、△ABCの面積は△DEFの面積の7倍なので、7。
BF ： CF = 4 ： 3 なので、△ABF の面積は、

よって、△ABF=4


ここで、□AGDFの面積は、△ABFから△BDGを引いた面積となる。
□AGDF=△ABF-△BDG=4-1=3
また、折った図形なので、
△ADG=△ADF となり、□AGDFの半分の面積となる。
△ADG=△ADF =3÷2=1.5

ここまでに、求めた、△DEFを1としたときの、それぞれの三角形の面積を〇数字で書いておく。

すると求めるべきAFは、△ADEに注目すると、
△ADF ： △DEF = 1.5 : 1
また、AE = AB = 6cm よって、

AF=3.6cm
※ 細かい事ですが、この計算を 6×1.5÷2.5と計算すると、時間がもったいないので、上記のように、計算します。
1/5 = 0.2 とすっと、頭の中で変換できると良いですね。

また、求めるべきBDは、△ABFに注目すると
△ABF ： △ABD = 4 : 2.5
また、BF = 4cm よって、

BD=2.5cm

(2)
三角錐の問題です。 頭の中で、グリグリと回転できるか? が勝負ですね。


まずは補助線を引いていきます。
BEに線を引き、またADを延長します。ADを軸に三角錐を作る為、直角の線を引きます。
それぞれの接点を、H、Iとします。
△AEDは△ABDを折り返して作った三角形なので、BEとAHは垂直に交わります。



△ABDをADを軸に回転させて出来る立体の体積は、
△ABHをADを軸に回転させて出来る立体から、△BDHをADを軸に回転させて出来る立体を引いた体積となります。


また、△ACDをADを軸に回転させて出来る立体の体積は、
△ACIをADを軸に回転させて出来る立体と、△CDIをADを軸に回転させて出来る立体を足した体積となります。

ここで、求めるべきは、その二つの体積の比となります。
上記の2つの立体は、同じ長さのADを軸に回転してできる立体なので、その体積比は、底面の面の面積に比例します。
※ ここは、受験問題を多く解いて知っている子どもならすぐに、知らないと 自分で導き出さなくてはいけないので、差が生まれる場所だと思います。


△CDI と △BDH に注目すると、
CI と BH は平行であり、△CDI と △BDH のすべての各は等しいから △CDI と △BDH は相似。
BD : CD = 2.5 : 4.5 = 5 : 9
よって、求めるべき 体積の割合は

※ 計算式も 81÷25を ひっ算するのではなく、分母分子を4倍すれば、分母が100になり簡単になるという事き気づけば簡単です。

どうでしょうか？

同じ長さのADを軸に回転してできる立体なので、その体積比は、底面の面の面積に比例します。
については、また別途 解説が必要かもしれませんが、パパさんの場合は、数学で解いてみれば、なるほど!! と思うっかと思いますよ♪

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