123456789 × 8 + 9 = 987654321

facebookから引用しています。

綺麗な式ですね。

でも、なぜこんなきれいな形になるのでしょうか?

解説しますね。

まずは、基本的な 九九のおさらいです。9の段を書いていきます。

1 × 9 = 9
2 × 9 = 18
3 × 9 = 27
4 × 9 = 36
5 × 9 = 45
6 × 9 = 54
7 × 9 = 63
8 × 9 = 72
9 × 9 = 81

気付きました?? 9の段って、答えの一の位が、きれいに 9から順に並んでいるんです。あわせて、答えの10の段も0から順にきれいに並んでいます。

これを数学的に書きますと (大人向けです) n × 9 = n × (10-1) = 10n - n

そして、10から整数(1~9)を引く 引き算を見てみると

10 - 1 = 9 ( 1 + 9 = 10 )
10 - 2 = 8 ( 2 + 8 = 10 )
10 - 3 = 7 ( 3 + 7 = 10 )
10 - 4 = 6 ( 4 + 6 = 10 )
10 - 5 = 5 ( 5 + 5 = 10 )
10 - 6 = 4 ( 6 + 4 = 10 )
10 - 7 = 3 ( 7 + 3 = 10 )
10 - 8 = 2 ( 8 + 2 = 10 )
10 - 9 = 1 ( 9 + 1 = 10 )

このように、 和が10になる組合わせは、きれいに並んでいるのがわかりますね。
直感的には おはじきを使った 10の組み合わせを見せるのが良いかもしれません。


これは 10を 7 と 3 に分けた図です。

と、前置きが長くなりましたが...

今回の 掛け算を 見て行きたいと 思います。
多すぎず、少なすぎずの 12345 × 8 + 5 = 98765 を例にっていきましょう。

まず、この式を変形させます

12345 × 8 + 5 = 12345 × ( 9 - 1 ) + 5 = 12345 × 9 - 12345 +5

そしてひっ算形式で書いてみましょう。


掛け算は位毎に分けて、縦書きしています。
引き算と足し算はその下に書いています。

引き算は、掛け算の計算(各位を足す)前に、引いてしまいましょう。

12345 の なかの 1 (つまり 10000) を引くので、上にある 1 と 引き算の 1を相殺します。


同様に、12345 全ての引き算を相殺しましょう。
すると、あら!! 不思議、九九の9の段の 1の位 と +5 が残ります。



この式が理解できれば、

の式が成り立つことが理解できると思います。

本来の数学では、帰納法とか使ってより厳密にすべき問題ですが、子どもたちが直感的にわかってくれればいいかなぁ と思ってます。

--- スポンサード リンク ---

コメント 1

面白かったです。
ところで九九の9の段のところについて、「答えの10の段」ではなく「答えの十の位」ではないでしょうか。
by お名前（必須） (2019-02-06 19:20)